Question

設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，0），B（0，1）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題可得橢圓的方程，設(shè)直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx，D（x，kx），E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，進(jìn)而求得x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)求得x的表達(dá)式，由D在AB上知x+2kx=2，進(jìn)而求得x的另一個(gè)表達(dá)式，兩個(gè)表達(dá)式相等求得k．
（Ⅱ）由題設(shè)可知|BO|和|AO|的值，設(shè)y₁=kx₁，y₂=kx₂，進(jìn)而可表示出四邊形AEBF的面積進(jìn)而根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求得最大值．
解答：解：（Ⅰ）依題設(shè)得橢圓的方程為，
直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如圖，設(shè)D（x，kx），E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，

且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，
故．①
由知x-x₁=6（x₂-x），得；
由D在AB上知x+2kx=2，得．
所以，
化簡(jiǎn)得24k²-25k+6=0，
解得或．
（Ⅱ）由題設(shè)，|BO|=1，|AO|=2．
設(shè)y₁=kx₁，y₂=kx₂，由①得x₂＞0，y₂=-y₁＞0，
故四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂
===，
當(dāng)x₂=2y₂時(shí)，上式取等號(hào)．所以S的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，問(wèn)題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大．