已知函數(shù)y=log2(x2-2)的定義域是[a,b],值域是[1,log214],求實(shí)數(shù)a,b的值.
分析:易求函數(shù)的定義域,可知函數(shù)的單調(diào)性,分①a<b<0,②a<0<b,且|a|>|b|,③a<0<b,且|a|<|b|,④0<a<b四種情況進(jìn)行討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的最值,分別令其等于1,log214可求得a,b的值.
解答:解:要使函數(shù)y=log2(x2-2)有意義,須滿(mǎn)足x2-2>0,解得x∈(-∞,-
2
)∪(
2
,+∞),
可知y=log2(x2-2)在(-∞,-
2
)上遞減,在(
2
,+∞)上遞增,
∵函數(shù)的值域?yàn)閇1,log214],
∴①當(dāng)a<b<0時(shí),log2(a2-2)=log214,log2(b2-2)=1,解得:a=-4,b=-2;
②當(dāng)a<0<b,且|a|>|b|時(shí),log2(a2-2)=log214,log2(b2-2)=1,解得:a=-4,b=2;
③當(dāng)a<0<b,且|a|<|b|時(shí),log2(a2-2)=1,log2(b2-2)=log214,解得a=-2,b=4;
④當(dāng)0<a<b時(shí),log2(a2-2)=1,log2(b2-2)=log214,解得:a=2,b=4.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的定義域、值域,考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查分類(lèi)討論思想.
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