Question

已知兩點A（-2，0），B（2，0），直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為-

3

4

．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，直線PE、PF與圓（x-1）²+y²=r²（0＜r＜

3

2

）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R．求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點M（x，y），由題意可得KAMKBM=-

3

4

，利用斜率計算公式即可得出

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

．化簡即可．
（II）把x=1代入曲線C的方程，可得點P（1，

3

2

）．由于圓（x-1）²+y²=r²的圓心為（1，0），
利用對稱性可知直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù)．設(shè)直線PE的方程為y=k(x-1)+

3

2

，與橢圓的方程聯(lián)立可得
（4k²+3）x²+（12k-8k²）x+（4k²-12k-3）=0，由于x=1是方程的一個解，可得方程的另一解為xQ=

4k2-12k-3

4k2+3

．同理xR=

4k2+12k-3

4k2+3

．可得直線RQ的斜率為k_RQ=

1

2

．把直線RQ的方程y=

1

2

x+t代入橢圓方程，消去y整理得x²+tx+t²-3=0．利用弦長公式可得|RQ|．再利用點到直線的距離公式可得：原點O到直線RQ的距離為d．利用S△ORQ=

1

2

|RQ|•d和基本不等式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點M（x，y），KAMKBM=-

3

4

，∴

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

．
整理得點M所在的曲線C的方程：

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）．
（Ⅱ）把x=1代入曲線C的方程，可得

1

4

+

y2

3

=1，∵y＞0，解得y=

3

2

，∴點P（1，

3

2

）．
∵圓（x-1）²+y²=r²的圓心為（1，0），
∴直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù)．
設(shè)直線PE的方程為y=k(x-1)+

3

2

，
聯(lián)立

y=k(x-1)+ 3 2 x2 4 + y2 3 =1

，化為
（4k²+3）x²+（12k-8k²）x+（4k²-12k-3）=0，
由于x=1是方程的一個解，
∴方程的另一解為xQ=

4k2-12k-3

4k2+3

．
同理xR=

4k2+12k-3

4k2+3

．
故直線RQ的斜率為kRQ=

yR-yQ

xR-xQ

=

-k(xR-1)+ 3 2 -k(xQ-1)- 3 2

xR-xQ

=

-k( 8k2-6 4k2+3 -2)

24k 4k2+3

=

1

2

．
把直線RQ的方程y=

1

2

x+t代入橢圓方程，消去y整理得x²+tx+t²-3=0．
∴|RQ|=

[1+( 1 2 )2][t2-4(t2-3)]

=

15

2

4-t2

．
原點O到直線RQ的距離為d=

|2t|

5

．
∴S△ORQ=

1

2

•

15

2

•

4-t2

•

|2t|

5

=

3

2

t2(4-t2)

≤

3

2

•

t2+(4-t2)

2

=

3

．當(dāng)且僅當(dāng)t=±

2

時取等號．
∴△OQR的面積的最大值為

3

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、斜率計算公式、圓的標準方程及其切線性質(zhì)、三角形的面積計算公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．