Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)x∈（0，1）時(shí)，不等式2f（x）＜g（x）成立；
（3）當(dāng)n≥2，，n∈N^*證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)和f（x）的定義域，并求出導(dǎo)函數(shù)分子中多項(xiàng)式的根的判別式，分a小于等于0大于等于-1，a大于0和a小于-1三種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)和根的判別式的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)h（x）=2f（x）-g（x），把f（x）和g（x）的解析式代入h（x）中確定出h（x），求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)小于0即h（x）為減函數(shù)，得到h（x）小于h（0），而h（0）=0，化簡得證；
（3）由（2）中的h（x）小于0得到ln（x+1）小于x²-x³，令x=，即可得到，同理把n換成n-1，n-2，…，2，把所有的不等式相乘，約分化簡后得證．
解答：解（1）（x＞-1），△=16a（a+1），
①-1≤a≤0時(shí)，△＜0，f′（x）＜0，單調(diào)減區(qū)間（-1，+∞）；
②a＞0時(shí)，△＞0，單調(diào)減區(qū)間；增區(qū)間；
③a＜-1時(shí)，△＞0，單調(diào)減區(qū)間∪；增區(qū)間；
（2）設(shè)h（x）=2f（x）-g（x）=x²-ln（x+1）-x³，，
所以h（x）＜h（0）=0，即2f（x）＜g（x），
（3）由（2）ln（x+1）＜x²-x³，
令，則，
同理，…，，累乘即得證．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用，是一道綜合題．