Question

如圖，△ABC中，AC=BC，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，F為BE的中點，DF∥平面ABC，?
（1）求CD的長；?
（2）求證：AF⊥BD；?
（3）求平面ADF與平面ABC所形成的較小的二面角的度數．

Answer 1

分析：（1）取AB中點G，連FG、CG，則FG∥AE，由AE和CD都垂直于平面ABC，知AE∥CD，故FG∥CD，F、G、C、D四點共面．由DF∥平面ABC，DF∥CG，知四邊形FGCD是平行四邊形，由此能求出CD的長．
（2）在直角三角形ABE中，AE=AB，F是BE的中點，故AF⊥BE，由△ABC中，AC=BC，G是AB中點，知CG⊥AB，由AE垂直于平面ABC，知AE⊥CG，由此能夠證明AF⊥BD．
（3）設面ADF∩面ABC=L，由DF∥平面ABC，知DF∥L，由DF⊥面ABE，知L⊥面ABE，故L⊥AF，L⊥AB，所以∠FAB即為所求二面角的平面角．由此能求出平面ADF與平面ABC所形成的較小的二面角的大�。�

解答：（1）解：取AB中點G，連FG、CG，則FG∥AE，
又AE和CD都垂直于平面ABC，∴AE∥CD，
∴FG∥CD，∴F、G、C、D四點共面．
又平面FGCD∩平面ABC=CG，DF∥平面ABC，
∴DF∥CG，∴四邊形FGCD是平行四邊形，∴CD=FG=

1

2

AE=1
（2）證明：直角三角形ABE中，AE=AB，F是BE的中點，∴AF⊥BE，
又△ABC中，AC=BC，G是AB中點，∴CG⊥AB，又AE垂直于平面ABC，∴AE⊥CG，
又AE∩AB=A，∴CG⊥面ABE．∵DF∥CG，∴DF⊥面ABE，∴AF⊥DF
又∵BE∩DF=F，∴AF⊥面BED，∴AF⊥BD．
（3）解：設面ADF∩面ABC=L，∵DF∥平面ABC，∴DF∥L，
又DF⊥面ABE，∴L⊥面ABE，∴L⊥AF，L⊥AB，
∴∠FAB即為所求二面角的平面角．直角三角形ABE中，易得∠FAB=45°
∴平面ADF與平面ABC所形成的較小的二面角為45°．

點評：本題考查求CD的長，求證：AF⊥BD，求平面ADF與平面ABC所形成的較小的二面角的度數．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．