Question

給定橢圓，稱圓心在坐標(biāo)原點x∈[2，6]，半徑為的圓是橢圓m的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F₂距離為．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）若過點P（0，m）（m＜0）的直線l與橢圓C只有一個公共點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，求m的值；
（Ⅲ）過橢圓C“伴橢圓”上一動點Q作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個公共點，試判斷直線l₁，l₂的斜率之積是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接根據(jù)條件求出，半焦距，得到橢圓方程，進而根據(jù)定義求出其“伴隨圓”的方程；
（Ⅱ）先設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)直線l與橢圓C只有一個公共點得到k，m之間的關(guān)系；再結(jié)合l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，即可求m的值；
（Ⅲ）設(shè)出過點Q（x，y），與橢圓只有一個公共點的直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程根據(jù)交點只有一個，得到關(guān)于k與點Q坐標(biāo)之間的等式，最后再結(jié)合Q在伴橢圓上即可的出結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由題意得：，半焦距
則b=1橢圓C方程為
“伴隨圓”方程為x²+y²=4…（4分）
（Ⅱ）則設(shè)過點P且與橢圓有一個交點的直線l為：y=kx+m，
則整理得（1+3k²）x²+6kmx+（3m²-3）=0
所以△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）=0，解3k²+1=m²①…（6分）
又因為直線l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，
則有化簡得m²=2（k²+1）②…（8分）
聯(lián)立①②解得，k²=1，m²=4，
所以k=±1，m=-2（∵m＜0），則P（0，-2）…（10分）
（Ⅲ）當(dāng)l₁，l₂都有斜率時，設(shè)點Q（x，y），其中x²+y²=4，
設(shè)經(jīng)過點Q（x，y），與橢圓只有一個公共點的直線為y=k（x-x）+y，
由，消去y得到x²+3[kx+（y-kx）]²-3=0…（12分）
即（1+3k²）x²+6k（y-kx）x+3（y-kx）²-3=0，
△=[6k（y-kx）]²-4•（1+3k²）[3（y-kx）²-3]=0，
經(jīng)過化簡得到：（3-x²）k²+2xyk+1-y²=0，…（14分）
因為x²+y²=4，所以有（3-x²）k²+2xyk+（x²-3）=0，
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，
因為l₁，l₂與橢圓都只有一個公共點，
所以k₁，k₂滿足方程（3-x²）k²+2xyk+（x²-3）=0，
因而k₁•k₂=-1，即直線l₁，l₂的斜率之積是為定值-1…（16分）
點評：本題主要考查在新定義下圓與圓錐曲線的綜合問題．解決新定義的題目，一定要理解定義，避免出錯．