Question

已知關(guān)于x函數(shù)g（x）=

2

x

+alnx（a∈R），f（x）=x²+g（x），
（Ⅰ）試討論函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，試證f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極值．

Answer 1

分析：（I）有函數(shù)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，在令導(dǎo)函數(shù)大于零解出的x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）由題意先求出函數(shù)f（x）的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)存在極值的方法判斷函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)函數(shù)值異號即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
∵g（x）=

2

x

+alnx
∴g′（x）=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

（i）若a≤0，則g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，（0，+∞）為其單調(diào)遞減區(qū)間；
（ii）若a＞0，則由g′（x）=0得x=

2

a

，
x∈（0，

2

a

）時(shí)，g′（x）＜0；x∈（

2

a

，+∝）時(shí)，g′（x）＞0，
所以（0，

2

a

）為其單調(diào)遞減區(qū)間；（

2

a

，+∝）為其單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）∵f（x）=x²+g（x），
所以f（x）的定義域也為（0，+∞），且f^′（x）=（x²）^′+g′（x）=2x+

ax-2

x2

=

2x3+ax-2

x2

令h（x）=2x³+ax-2，x∈（0，+∞）
因?yàn)閍＞0，則令h′（x）=6x²+a＞0，所以h（x）為[0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，又h（0）=-2＜0，h（1）=a＞0，
所以在區(qū)間（0，+1）內(nèi)h（x）至少存在一個(gè)變號零點(diǎn)x₀，且x₀也是f′（x）的變號零點(diǎn)，所以f（x）在區(qū)間（0，+1）內(nèi)有極值．

點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查了函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，還考查了函數(shù)存在極值的條件及判斷方法．