Question

已知關于x函數g（x）=

2

x

+alnx（a∈R），f（x）=x²+g（x），
（Ⅰ）試討論函數g（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，試證f（x）在區(qū)間（0，1）內有極值．

Answer 1

分析：（I）有函數求導得到導函數，在令導函數大于零解出的x的范圍即為函數的單調區(qū)間；
（II）由題意先求出函數f（x）的解析式，再利用導數存在極值的方法判斷函數f（x）在（0，1）內函數值異號即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意g（x）的定義域為（0，+∞）
∵g（x）=

2

x

+alnx
∴g′（x）=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

（i）若a≤0，則g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，（0，+∞）為其單調遞減區(qū)間；
（ii）若a＞0，則由g′（x）=0得x=

2

a

，
x∈（0，

2

a

）時，g′（x）＜0；x∈（

2

a

，+∝）時，g′（x）＞0，
所以（0，

2

a

）為其單調遞減區(qū)間；（

2

a

，+∝）為其單調遞增區(qū)間；

（Ⅱ）∵f（x）=x²+g（x），
所以f（x）的定義域也為（0，+∞），且f^′（x）=（x²）^′+g′（x）=2x+

ax-2

x2

=

2x3+ax-2

x2

令h（x）=2x³+ax-2，x∈（0，+∞）
因為a＞0，則令h′（x）=6x²+a＞0，所以h（x）為[0，+∞）上的單調遞增函數，又h（0）=-2＜0，h（1）=a＞0，
所以在區(qū)間（0，+1）內h（x）至少存在一個變號零點x₀，且x₀也是f′（x）的變號零點，所以f（x）在區(qū)間（0，+1）內有極值．

點評：此題重點考查了函數利用導函數求其單調區(qū)間，還考查了函數存在極值的條件及判斷方法．