Question

已知函數(shù)f（x）=x⁵+ax³+bx+1在x=1和x=2處取得極值．
（1）求a和b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的值為0，列出方程組，求出a，b的值．
（Ⅱ）將a，b的值代入導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出解集為遞增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0，求出解集為遞減區(qū)間．

解答：解：（1）因?yàn)閒'（x）=5x⁴+3ax²+b，…（2分）
由已知得：f'（1）=5+3a+b=0．f'（2）=2⁴×5+2²×3a+b=0，解得a=-

25

3

，b=20． …（5分）
（2）由（1）知f'（x）=5x⁴+3ax²+b=5（x²-1）（x²-4）
=5（x+1）（x+2）（x-1）（x-2）．…（7分）
當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（-1，1）∪（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（-2，-1）∪（1，2）時(shí)，f'（x）＜0．…（9分）
因此f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-2），（-1，1），（2，+∞），f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-2，-1），（1，2）．  …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)有關(guān)：導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)，函數(shù)遞減．