Question

已知函數(shù)f(x)=x-

a

x

-(a+1)lnx  (a∈R)．
（Ⅰ）當0＜a≤1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得至少有一個x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞x₀成立，若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求得函數(shù)f（x）的定義域，求導函數(shù)，對a討論，利用導數(shù)的正負，即可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）先考慮“至少有一個x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞x₀成立”的否定“?x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可轉(zhuǎn)化為a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，則只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=1+

a

x2

-

a+1

x

=

(x-a)(x-1)

x2

…（2分）
（1）當0＜a＜1時，由f′（x）＞0，得0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0，得a＜x＜1
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，1）…（4分）
（2）當a=1時，f′（x）≥0，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）…（5分）
（Ⅱ）先考慮“至少有一個x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞x₀成立”的否定“?x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可轉(zhuǎn)化為a+（a+1）xlnx≥0恒成立．
令φ（x）=a+（a+1）xlnx，則只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，…（6分）
求導函數(shù)φ′（x）=（a+1）（1+lnx）
當a+1＞0時，在x∈(0，

1

e

)時，φ′（x）＜0，在x∈(

1

e

，+∞)時，φ′（x）＞0
∴φ（x）的最小值為φ(

1

e

)，
由φ(

1

e

)≥0得a≥

1

e-1

，故當a≥

1

e-1

時，f（x）≤x恒成立，…（9分）
當a+1=0時，φ（x）=-1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（11分）
當a+1＜0時，取x=1，有φ（1）=a＜-1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（13分）
綜上所述，即a＜

1

e-1

或a≤-1時，至少有一個x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞x₀成立．…（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，考查學生的分析解決問題的能力，屬于中檔題．