Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x）的定義域是R，值域是[0，

1

2

]；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對(duì)稱；
③函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期是1；
則其中真命題是

①②③

．

Answer 1

分析：定義域顯然為R，然后根據(jù)題設(shè)x≤m+

1

2

，{x}=m，則f（x）=x-{x}≤

1

2

；
f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x），所以關(guān)于x=x=

k

2

（k∈Z）對(duì)稱；
f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），所以周期為1．

解答：解：①定義域顯然為R，然后根據(jù)題設(shè)x≤m+

1

2

，{x}=m，
則f（x）=x-{x}≤

1

2

，故①成立；
②f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x），
所以關(guān)于x=

k

2

（k∈Z）對(duì)稱，故②成立；
③f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
所以周期為1，故③成立．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的定義域、值域、對(duì)稱性和周期性的求法．