Question

已知a＞b＞c，求證：

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0．

Answer 1

分析：本題宜用分析法證．設(shè)a-b=m，b-c=n，則a-c=m+n，欲求證：

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0．即證

1

m

+

1

n

＞

1

m+n

，變形后尋求使之成立的充分條件即可．

解答：證明：設(shè)a-b=m，b-c=n，則a-c=m+n，
欲求證：

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0．
即證

1

m

+

1

n

＞

1

m+n

，
去分母后要證

m+n

m

+

m+n

n

＞1，
只需證1+

n

m

+

m

n

＞ 0，
∵a＞b＞c，∴m＞0，n＞0，1+

n

m

+

m

n

＞ 0成立．
∴原不等式成立．

點評：當(dāng)用綜合法不易發(fā)現(xiàn)解題途徑時，我們可以從求證的不等式出發(fā)，逐步分析尋求使這個不等式成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實，從而得出要證的不等式成立，這種執(zhí)果所因的思考和證明方法叫做分析法．