Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線．

（1）過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；

（2）設斜率為1的直線l交于P，Q兩點，若l與圓相切，求證：；

（3）設橢圓，若M，N分別是，上的動點，且，求證：O到直線MN的距離是定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據題意，寫出雙曲線的左頂點，求出直線的方程，聯立求得三角形頂點坐標，之后利用三角形的面積公式求得結果.

（2）設直線的方程為，通過直線與已知圓相切，得到，通過求解.證明.

（3）當直線垂直軸時，直接求出到直線的距離為.當直線不垂直軸時，設直線的方程為：，（顯然），推出直線的方程為，求出，，設到直線的距離為，通過，求出.推出到直線的距離是定值.

（1）根據題意可得的左頂點為，

設直線方程為，

與另一條漸近線聯立求得交點坐標為，

所以對應三角形的面積為；

（2）設直線的方程是，因直線與已知圓相切，

故，即，

由得，

設，，則，，

則，

故；

（3）當直線ON垂直于x軸時，，，

則O到直線MN的距離為．

當直線不垂直于軸時，

設直線的方程為（顯然），

則直線的方程為.

由與橢圓方程聯立，

得，，所以.

同理.

設O到直線MN的距離為d，

則由，

得．

綜上，O到直線MN的距離是定值.