Question

已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出下列四個命題：
①若l⊥m，則α∥β；
②若α∥β，則l⊥m；
③若l∥m，則α⊥β；
④若α⊥β，則l∥m；
其中為真命題的序號是

②③

．

Answer 1

分析：由線面垂直，線線垂直的幾何特征可得m?α或m∥α，結(jié)合m?β，可判斷平面α與β的關(guān)系，判斷①；
根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得l⊥β，進而由線在垂直的性質(zhì)得到l⊥m，判斷②；
根據(jù)線面垂直的第二判定定理可得m⊥α，進而由面面垂直的判定定理得到α⊥β，判斷③；
由面面垂直及線面垂直的幾何特征，可得l?β或l∥β，結(jié)合m?β，可判斷直線l與m的關(guān)系，判斷④．

解答：解：若l⊥m，l⊥α，則m?α或m∥α，結(jié)合m?β，此時α與β可能平行也可能相交，故①錯誤；
若α∥β，l⊥α，則l⊥β，再由m?β，可得l⊥m，故②正確；
若l∥m，l⊥α，則m⊥α，再由m?β，可得α⊥β，故③正確；
若α⊥β，l⊥α，則l?β或l∥β，結(jié)合m?β，此時l與m可能平行，可能相交，也可能異面，故④錯誤；
故答案為：②③

點評：本題以空間直線與平面的位置關(guān)系為載體考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的判定方法是解答的關(guān)鍵．