已知雙曲線數(shù)學(xué)公式=1,的兩焦點(diǎn)F1、F2,動(dòng)點(diǎn)P與F1,F(xiàn)2的距離之和為大于4的定值,且向量數(shù)學(xué)公式的最大值為9,
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程
(2)若A、B是曲線E上相異兩點(diǎn),點(diǎn)M(0.-1)滿足數(shù)學(xué)公式,求λ的取值范圍.

解:(1)雙曲線的兩焦點(diǎn)為F1(0,-2),F(xiàn)2(0,2),
設(shè)已知定值為2a(2a>4),則|PF1|+|PF2|=2a,
因此,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是以F1(0,-2),F(xiàn)2(0,2)為焦點(diǎn)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a的橢圓;
設(shè)橢圓的方程為
,
(當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)等號(hào)成立)…(4分)∴a2=9,b2=9-4=5
于是,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為:
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
,
,
且M、A、B三點(diǎn)共線
設(shè)三點(diǎn)所在的直線為l
①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),
設(shè)l:y=kx-1
…(7分)△=(-10k)2+160(5k2+9)>0恒成立

將x1=-λx2代入并消去x2

當(dāng)k=0時(shí),λ=1
當(dāng)
整理得2λ2-5λ+2<0∴且λ≠1
②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),
A、B分別為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn);
此時(shí),
綜上所述,實(shí)數(shù)λ的取值范圍為
分析:(1)根據(jù)橢圓定義可知,所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓,再求出橢圓中的a,b的值即可.
(2)設(shè)出A,B點(diǎn)的坐標(biāo),以及直線AB的方程,代入橢圓方程,求x1+x2,x1x2,根據(jù),找到x1,x2之間的關(guān)系,再根據(jù)前面所求關(guān)系式,化簡(jiǎn),即可得λ的方程,解λ即可.
點(diǎn)評(píng):本體考查了定義法求軌跡方程,以及直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用.關(guān)鍵是看清題中給出的條件,靈活運(yùn)用韋達(dá)定理進(jìn)行求解.
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