Question

已知雙曲線=1，的兩焦點(diǎn)F₁、F₂，動(dòng)點(diǎn)P與F₁，F(xiàn)₂的距離之和為大于4的定值，且向量的最大值為9，
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程
（2）若A、B是曲線E上相異兩點(diǎn)，點(diǎn)M（0．-1）滿足，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）雙曲線的兩焦點(diǎn)為F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2），
設(shè)已知定值為2a（2a＞4），則|PF₁|+|PF₂|=2a，
因此，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是以F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2）為焦點(diǎn)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a的橢圓；
設(shè)橢圓的方程為
∵，
（當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|時(shí)等號(hào)成立）…（4分）∴a²=9，b²=9-4=5
于是，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為：．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，
得，
且M、A、B三點(diǎn)共線
設(shè)三點(diǎn)所在的直線為l
①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)l：y=kx-1
由…（7分）△=（-10k）²+160（5k²+9）＞0恒成立
由
將x₁=-λx₂代入并消去x₂，
得
當(dāng)k=0時(shí)，λ=1
當(dāng)∴
整理得2λ²-5λ+2＜0∴且λ≠1
②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
A、B分別為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)；
此時(shí)，
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為．
分析：（1）根據(jù)橢圓定義可知，所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，再求出橢圓中的a，b的值即可．
（2）設(shè)出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，以及直線AB的方程，代入橢圓方程，求x1+x2，x1x2，根據(jù)，找到x1，x2之間的關(guān)系，再根據(jù)前面所求關(guān)系式，化簡(jiǎn)，即可得λ的方程，解λ即可．
點(diǎn)評(píng)：本體考查了定義法求軌跡方程，以及直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用．關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．