已知幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形.
(1)求異面直線與
所成角的余弦值;
(2)求二面角的正弦值;
(3)求此幾何體的體積的大小
(1)異面直線與
所成的角的余弦值為
.
(2)二面角的的正弦值為
.
(3)幾何體的體積為16.
解析試題分析:(1)先確定幾何體中的棱長(zhǎng), ,通過(guò)取
的中點(diǎn)
,連結(jié)
,
則,∴
或其補(bǔ)角即為異面直線
與
所成的角. 在
中即可解得
的余弦值.
(2) 因?yàn)槎娼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/db/6/kpyoz.png" style="vertical-align:middle;" />的棱為,可通過(guò)三垂線法找二面角,由已知
平面
,過(guò)
作
交
于
,連
.可得
平面
,從而
,∴
為二面角
的平面角. 在
中可解得
角的正弦值.
(3)該幾何體是以為頂點(diǎn),
為高的,
為底的四棱錐,所以
此外也可以以為原點(diǎn),以
所在直線為
軸建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解答.
試題解析:(1)取的中點(diǎn)是
,連結(jié)
,
則,∴
或其補(bǔ)角即為異面直線
與
所成的角.
在中,
,
.∴
.
∴異面直線與
所成的角的余弦值為
.
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/61/2/a06vn1.png" style="vertical-align:middle;" />平面,過(guò)
作
交
于
,連
.
可得平面
,從而
,
∴為二面角
的平面角.
在中,
,
,
,
∴.∴
.
∴二面角的的正弦值為
.
(3),∴幾何體的體積為16.
方法2:(1)以為原點(diǎn),以CA,CB,CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(0,0,4),
,∴
,
∴異面直線與
所成的角的余弦值為
.
(2)平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知平面
,四邊形
是矩形,
,
,點(diǎn)
,
分別是
,
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求三棱錐的體積;
(Ⅱ)求證:平面
;
(Ⅲ)若點(diǎn)為線段
中點(diǎn),求證:
∥平面
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形,且側(cè)面AA1C1C是邊長(zhǎng)為2的正方形,E是的中點(diǎn),F在棱CC1上。
(1)當(dāng)CF時(shí),求多面體ABCFA1的體積;
(2)當(dāng)點(diǎn)F使得A1F+BF最小時(shí),判斷直線AE與A1F是否垂直,并證明的結(jié)論。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知梯形中
,
,
,
、
分別是
、
上的點(diǎn),
,
.沿
將梯形
翻折,使平面
⊥平面
(如圖).
是
的中點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),求證:
⊥
;
(2)當(dāng)變化時(shí),求三棱錐
體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn)
(Ⅰ)證明:BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)設(shè)AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱錐C一A1DE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖是一個(gè)直三棱柱被削去一部分后的幾何體的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖.在直觀圖中,是
的中點(diǎn).又已知側(cè)視圖是直角梯形,俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.
(Ⅰ)求證:EM∥平面ABC;
(Ⅱ)求出該幾何體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知四棱錐中,
是正方形,E是
的中點(diǎn),
(1)若,求 PC與面AC所成的角
(2) 求證:平面
(3) 求證:平面PBC⊥平面PCD
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