(本小題滿分14分)
設正整數(shù)數(shù)列{
an}滿足:
a2=4,且對于任何
n∈
N*,有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150308964993.gif)
.
(1)求
a1,
a3;
(2)求數(shù)列{
an }的通項
an.
解:(1)據(jù)條件得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231503093231041.gif)
①
當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309354232.gif)
時,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309464853.gif)
,即有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309479679.gif)
,
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309495494.gif)
.因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309526206.gif)
為正整數(shù),故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150308980244.gif)
.
當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309573233.gif)
時,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309588860.gif)
,
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309620342.gif)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309136263.gif)
.
(2)方法一:由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150308980244.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309729258.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309136263.gif)
,猜想:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309245377.gif)
.
下面用數(shù)學歸納法證明.
1
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309822120.gif)
當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309354232.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309869190.gif)
時,由(1)知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309245377.gif)
均成立;
2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309822120.gif)
假設
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309947492.gif)
成立,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309978377.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309994390.gif)
時
由①得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231503100721089.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231503101191000.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231503102591046.gif)
因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150310290265.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150310306871.gif)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150310322676.gif)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150310337291.gif)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150310462547.gif)
.
又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150310478418.gif)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150310478664.gif)
.
故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150310556483.gif)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309994390.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309245377.gif)
成立.
由1
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309822120.gif)
,2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309822120.gif)
知,對任意
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309167381.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309245377.gif)
.
(2)方法二:
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150308980244.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309729258.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309136263.gif)
,猜想:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309245377.gif)
.
下面用數(shù)學歸納法證明.
1
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309822120.gif)
當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309354232.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309869190.gif)
時,由(1)知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309245377.gif)
均成立;
2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309822120.gif)
假設
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309947492.gif)
成立,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309978377.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309994390.gif)
時
由①得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231503112581089.gif)
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150311320943.gif)
�、�
由②左式,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150311336621.gif)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150311351611.gif)
,因為兩端為整數(shù),
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150311382899.gif)
.于是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150311398504.gif)
�、�
又由②右式,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231503114141060.gif)
.
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150311460683.gif)
.
因為兩端為正整數(shù),則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150311476682.gif)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231503114921010.gif)
.
又因
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150310290265.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150311570327.gif)
為正整數(shù),則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150311585508.gif)
�、�
據(jù)③④
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150310556483.gif)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309994390.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309245377.gif)
成立.
由1
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309822120.gif)
,2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309822120.gif)
知,對任意
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309167381.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150309245377.gif)
.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分14分)
已知函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150224910477.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150224926244.gif)
是方程
f(x)=0的兩個根
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150224941384.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150224957242.gif)
是
f(x)的導數(shù).
設
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150224972225.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150224988589.gif)
(n=1,2,……)
(1)求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150224926244.gif)
的值;
(2)證明:對任意的正整數(shù)n,都有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150225035199.gif)
>a;
(3)記
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150225050520.gif)
(n=1,2,……),求數(shù)列{b
n}的前n項和S
n。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)設
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150128812220.gif)
為數(shù)列
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150128843263.gif)
的前
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150128859192.gif)
項和,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150128875458.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150128890383.gif)
,其中
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150128906199.gif)
是常數(shù).
(1)求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150128921206.gif)
及
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150128937212.gif)
;
(2)若對于任意的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150128953393.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150128968316.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150128984335.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150128999333.gif)
成等比數(shù)列,求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150128906199.gif)
的值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知數(shù)列{
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823151255260212.gif)
}滿足
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823151255291790.gif)
,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823151255307475.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823151255369613.gif)
的值是
A.5 | B.![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823151255401235.gif) | C.-5 | D.![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823151255416220.gif) |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
將所有3的冪,或者是若干個不相等的3的冪之和,
由小到大依次排列成數(shù)列1,3,4,9,10,12,13,…,則此數(shù)列的第100項為 .
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
在等差數(shù)列
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150557351263.gif)
中,已知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150557367252.gif)
,則該數(shù)列的前5項之和為( )
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150557382200.gif)
)10 (
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150557398206.gif)
)16 (
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150557414205.gif)
)20 (
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150557429210.gif)
)32
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若
f(
n)=1+2+3+…+(
n-1)+
n+(
n-1)+…+3+2+1,則
f(2)=
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145838538413.gif)
成等差數(shù)列,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145838554313.gif)
成等比數(shù)列,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145838569355.gif)
( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知數(shù)列{
an}是等差數(shù)列,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145426130555.gif)
⑴求數(shù)列{
an}的通項公式
⑵令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145426145528.gif)
,求數(shù)列{
bn}的前10項和
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