Question

設(shè)p，q為實(shí)數(shù)，α，β是方程x²-px+q=0的兩個實(shí)根，數(shù)列{x_n}滿足x₁=p，x₂=p²-q，x_n=px_n-1-qx_n-2（n=3，4，…），
（1）證明：α+β=p，αβ=q；
（2）求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（3）若p=1，q=，求{x_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（1）由求根公式，不妨設(shè)α＜β，得，
∴，；
（2）設(shè)，則，
由得，消去t，得，
∴s是方程的根，由題意可知，，
①當(dāng)α≠β時，此時方程組的解記為或，
∴，
即、分別是公比為、的等比數(shù)列，
由等比數(shù)列性質(zhì)可得，，
兩式相減，得，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
②當(dāng)α=β時，即方程有重根，∴，
即，得，∴s=t，
不妨設(shè)s=t=α，由①可知，
∵α=β，
∴，即，
等式兩邊同時除以αⁿ，得，即，
∴數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，
∴，
∴；
綜上所述，；
（3）把p=1，代入，得，
解得，
∴，


。