已知函數(shù)f(x)=x3-3x及y=f(x)上一點(diǎn)P(1,-2),過(guò)點(diǎn)P作直線l.
(1)求使直線l和y=f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程;
(2)求使直線l和y=f(x)相切且切點(diǎn)異于P的直線方程.
【答案】
分析:(1)由已知可得斜率函數(shù)為f′(x)=3x
2-3,進(jìn)而求出所過(guò)點(diǎn)切線的斜率,代入點(diǎn)斜式公式即可.
(2)設(shè)另一切點(diǎn)為(x
,y
),求出該點(diǎn)切線方程,再由條件計(jì)算.
解答:解:(1)由f(x)=x
3-3x得,f′(x)=3x
2-3,
過(guò)點(diǎn)P且以P(1,-2)為切點(diǎn)的直線的斜率f′(1)=0,
∴所求直線方程為y=-2.
(2)設(shè)過(guò)P(1,-2)的直線l與y=f(x)切于另一點(diǎn)(x
,y
),
則f′(x
)=3x
2-3.
又直線過(guò)(x
,y
),P(1,-2),
故其斜率可表示為
=
,
又
=3x
2-3,
即x
3-3x
+2=3(x
2-1)•(x
-1),
解得x
=1(舍)或x
=-
,
故所求直線的斜率為k=3×(
-1)=-
,
∴y-(-2)=-
(x-1),
即9x+4y-1=0.
點(diǎn)評(píng):本題較為簡(jiǎn)單,主要考查的是直線的點(diǎn)斜式方程的求解,掌握好這一方法即可.