Question

10．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC延長線上的點(diǎn)，$\overline{BC}$=3$\overline{CD}$，O在線段CD上且不與端點(diǎn)重合，若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+（1-x）$\overrightarrow{AC}$，則x的取值范圍是（$-\frac{1}{3}$，0）．

Answer 1

分析 結(jié)合圖形，根據(jù)向量加法，$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CO}$，可以想著用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$來表示$\overrightarrow{AO}$，根據(jù)已知條件知$\overrightarrow{CO}=k\overrightarrow{CD}=\frac{k}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，其中0＜k＜1，從而便可得到$\overrightarrow{AO}=-\frac{k}{3}\overrightarrow{AB}+（1+\frac{k}{3}）\overrightarrow{AC}$，從而x=$-\frac{k}{3}$，從而根據(jù)k的范圍即可求出x的范圍．

解答 解：$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CO}$；
O在線段CD上且不與端點(diǎn)重合；
∴存在k，0＜k＜1，使$\overrightarrow{CO}=k\overrightarrow{CD}$；
又$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{CD}$；
∴$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AC}+\frac{k}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$-\frac{k}{3}\overrightarrow{AB}+（1+\frac{k}{3}）\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+（1-x）\overrightarrow{AC}$；
∴$x=-\frac{k}{3}$；
∴$-\frac{1}{3}＜x＜0$；
∴x的取值范圍是$（-\frac{1}{3}，0）$．
故答案為：（$-\frac{1}{3}$，0）．

點(diǎn)評 考查向量加法、減法的幾何意義，共線向量基本定理，向量數(shù)乘的運(yùn)算．