Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若k=2010，關于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．
（3）當k=1時，證明：對一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得函數(shù)的定義域為x＞0，對函數(shù)求導可得，分k是奇數(shù)時，f'（x）＞0，及k是偶數(shù)討論，的符號，進而確定函數(shù)f （x）在（0，+∞）的單調(diào)性
（2）由k=2010，可得f（x）=x²-2alnx，構造函數(shù)g （x）=f （x）-2ax=x ²-2 a xlnx-2ax，對函數(shù)求導可得，若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解
（3）當k=1時，問題等價于證明，由導數(shù)可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是設由導數(shù)知識可得，從而對一切x∈（0，+∞），都有成立．
解答：解：（1）由已知得x＞0且．
當k是奇數(shù)時，f'（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；       
當k是偶數(shù)時，則．
所以當x∈時，f'（x）＜0，當x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0．
故當k是偶數(shù)時，f （x）在上是減函數(shù)，在（a，+∞）上是增函數(shù)
（2）若k=2010，則f（x）=x²-2alnx（k∈N^*）．
記g （x）=f （x）-2ax=x ²-2 a xlnx-2ax，，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；     
令g'（x）=0，得x²-ax-a=0．因為a＞0，x＞0，
所以（舍去），．
當x∈（0，x₂）時，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當x∈（x₂，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
當x=x₂時，g'（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）．
因為g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
則即
兩式相減得2alnx₂+ax₂-a=0，因為a＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）．
設函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
因為在x＞0時，h （x）是增函數(shù)，所以h （x）=0至多有一解．
因為h （1）=0，所以方程（*）的解為x ₂=1，從而解得
（3）當k=1時，問題等價于證明，
由導數(shù)可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，當且僅當時取到，
設，則，易得，當且僅當x=1時取到
從而對一切x∈（0，+∞），都有成立．故命題成立．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)的應用：求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求解函數(shù)的最值，而利用導數(shù)證明不等式時常見的處理方法是構造函數(shù)，利用導數(shù)求解函數(shù)的最值以證明不等式，屬于綜合性試題．