Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）圖象關于點（1，0）對稱，若對任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，則當x＞3時，x²+y²的取值范圍是

（13，49）

．

Answer 1

分析：由函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，結合圖象平移的知識可知函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，從而可知函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，由f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，可把問題轉化為（x-3）²+（y-4）²＜4，借助于的有關知識可求．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，
即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
又∵f（x）是定義在R上的增函數(shù)且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立
∴f（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y²）恒成立，
∴x²-6x+21＜8y-y²，
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立，
設M （x，y），則當x＞3時，M表示以（3，4）為圓心2為半徑的右半圓內(nèi)的任意一點，
則d=

x2+y2

表示區(qū)域內(nèi)的點和原點的距離．
由下圖可知：d的最小值是OA=

13

，
OB=OC+CB，5+2=7，
當x＞3時，x²+y²的范圍為（13，49）．
故答案為：（13，49）．

點評：本題考查了函數(shù)圖象的平移、函數(shù)的奇偶性、單調性及圓的有關知識，解決問題的關鍵是把“數(shù)”的問題轉化為“形”的問題，借助于圖形的幾何意義減少了運算量，體現(xiàn)“數(shù)形結合：及”轉化”的思想在解題中的應用．