Question

已知拋物線x²=4y的焦點是橢圓　　一個頂點，橢圓C的離心率為，另有一圓O圓心在坐標(biāo)原點，半徑為．
（1）求橢圓C和圓O的方程；
（2）已知M（x₀，y₀）是圓O上任意一點，過M點作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個公共點，求證：l₁⊥l₂．

Answer 1

（1）解：由x²=4y可得拋物線焦點坐標(biāo)為（0，1），∴b=1，
又∵，∴，∴a²=4，
∴，
∴橢圓C的方程為，圓O的方程為x²+y²=5
（2）證明：若點M的坐標(biāo)為（2，1），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），則過這四點分別作滿足條件的直線l₁，l₂，若一條直線斜率為0，則另一條斜率不存在，則l₁⊥l₂
若直線l₁，l₂斜率都存在，則設(shè)過M與橢圓只有一個公共點的直線方程為y-y₀=k（x-x₀），
由得
即
則
化簡得
又，
∴
設(shè)直線l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，因為l₁，l₂與橢圓都只有一個公共點，
所以k₁，k₂滿足，
∴，
∴l(xiāng)₁⊥l₂
分析：（1）確定拋物線焦點坐標(biāo)，可得b的值，利用橢圓C的離心率為，另有一圓O圓心在坐標(biāo)原點，半徑為，即可求橢圓C和圓O的方程；
（2）分類討論，利用韋達(dá)定理，計算斜率的積為-1，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．