Question

在三棱錐P-ABC中，AC=a，BC=2a，AB=

3

a，側(cè)棱PA、PB、PC與底面ABC所成的角相等，點(diǎn)P到平面ABC的距離為

3

2

a．
（Ⅰ）求二面角P-AC-B的大�。�
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面PAC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)勾股定理得△ABC是∠BAC=90°的直角三角形，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是Pt△ABC的外心，即斜邊BC的中點(diǎn)E，取AC的中點(diǎn)D，連接PD，DE，PE，則∠PDE為二面角P-AC-B的平面角，最后在Rt△PED中求出此角即可；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)B到平面PAC的距離為h，則由V_P-ABC=V_B-APC建立等式求出h，從而求出點(diǎn)B到平面PAC的距離．

解答：解：（Ⅰ）∵AC=a，BC=2a，AB=

3

a，∴AC²+AB²=BC²，
∴△ABC是∠BAC=90°的直角三角形，
∵側(cè)棱PA、PB、PC與底面ABC所成的角相等，
∴點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是Pt△ABC的外心，即斜邊BC的中點(diǎn)E．
取AC的中點(diǎn)D，連接PD，DE，PE，則PE=

3

2

a，DE∥AB，
∴AC⊥DE，DE=

AB

2

=

3

2

a
∵PE⊥平面ABC，∴DE是PD在平面ABC內(nèi)的射影．∵AC⊥DE，∴AC⊥PD．
∴∠PDE為二面角P-AC-B的平面角．
在Rt△PED中，tan∠PDE=

PE

DE

=

3

．
∴∠PDE=

π

3

，故二面角P-AC-B的大小為

π

3

．
（Ⅱ）∵AC=a，PD=

PE2+DE2

=

3

a，∴S△ABC=

1

2

AC•PD=

3

2

a2．
設(shè)點(diǎn)B到平面PAC的距離為h，則由V_P-ABC=V_B-APC得

1

3

S△ABC• PE=

1

3

S△APC•h．
解方程得h=

3

2

a，∴點(diǎn)B到平面PAC的距離等于

3

2

a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二面角平面角的度量，以及點(diǎn)到平面的距離，同時(shí)考查了等體積法等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力，屬于中檔題．