Question

在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a、b、c且b²+c²=bc+a²
（1）求∠A；
（2）若，求b²+c²的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）由a和sinA的值，根據(jù)正弦定理表示出b和c，代入所求的式子中，利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并后再利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)角度的范圍求出正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而得到所求式子的范圍．
解答：解：（1）由余弦定理知：
cosA==，又A∈（0，π）
∴∠A=
（2）由正弦定理得：
∴b=2sinB，c=2sinC
∴b²+c²=4（sin²B+sin²C）=2（1-cos2B+1-cos2C）
=4-2cos2B-2cos2（-B）
=4-2cos2B-2cos（-2B）
=4-2cos2B-2（-cos2B-sin2B）
=4-cos2B+sin2B
=4+2sin（2B-），
又∵0＜∠B＜，∴＜2B-＜
∴-1＜2sin（2B-）≤2
∴3＜b²+c²≤6．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，掌握正弦函數(shù)的值域，是一道中檔題．