Question

在數列{a_n}中，如果存在正整數T，使得a_m+T=a_m對任意的非零自然數m都成立，那么稱數列{a_n}為周期數列，其中T稱為數列{a_n}的周期．已知數列{x_n}滿足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N*），如果x₁=

1

2

，x₂=a（a∈R，a≠0），當數列{x_n}的周期最小時，該數列的前2009項和為

670

．

Answer 1

分析：首先要根據題意中所說的周期數列的定義，針對題目中的數列的周期情況分類討論，從而將a值確定，進而將數列的前2 009項和確定．

解答：解：若數列的周期為1，則a=

1

2

，此時該數列為：

1

2

，

1

2

，0，

1

2

，

1

2

，0…是以3為周期的數列，不符合題意
若數列的周期為2，則x3=x1=

1

2

，由x3=|a-

1

2

|=

1

2

可得a=1，a=0（舍）
此時該數列的項為：

1

2

，1，

1

2

，

1

2

，0，

1

2

，

1

2

，0，不符合題意
∴數列的最小周期為3，此時a=

1

2

，此時該數列的項為：

1

2

，

1

2

，0，

1

2

，

1

2

，0…
S2009=669(

1

2

+

1

2

+0)+

1

2

+ 

1

2

=670
故答案為：670

點評：此題考查對新概念的理解以及分析問題的能力．解題的關鍵是確定周期取得最小值時的a的值，以確定數列的各項