Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₂=1，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

n(an-a1)

2

．
（1）求a₁；
（2）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)lgb_n=

an+1

3n

，試問是否存在正整數(shù)p，q（其中1＜p＜q），使b₁，b_p，b_q成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（p，q）；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）嶺n=1，即可求a₁；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；
（3）根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，建立方程組進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）令n=1，則a₁=S₁=

1(a1-a1)

2

=0
（2）由Sn=

n(an-a1)

2

，即Sn=

nan

2

，①
得  Sn+1=

(n+1)an+1

2

．②
②-①，得  （n-1）a_n+1=na_n．③
于是，na_n+2=（n+1）a_n+1．④
③+④，得na_n+2+na_n=2na_n+1，即a_n+2+a_n=2a_n+1
又a₁=0，a₂=1，a₂-a₁=1，
所以，數(shù)列{a_n}是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
所以，a_n=n-1
（3）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組（p，q），使b₁，b_p，b_q成等比數(shù)列，則lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差數(shù)列，
于是，

2p

3p

=

1

3

+

q

3q

所以，q=3q(

2p

3p

-

1

3

)（☆）．
易知（p，q）=（2，3）為方程（☆）的一組解
當(dāng)p≥3，且p∈N*時，

2(p+1)

3p+1

-

2p

3p

=

2-4p

3p+1

＜0，故數(shù)列{

2p

3p

}（p≥3）為遞減數(shù)列，
于是

2p

3p

-

1

3

≤

2×3

33

-

1

3

＜0，所以此時方程（☆）無正整數(shù)解．
綜上，存在唯一正整數(shù)數(shù)對（p，q）=（2，3），使b₁，b_p，b_q成等比數(shù)列

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列個等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的通項(xiàng)公式．