Question

已知函數(shù)f（x）=elnx，g（x）=e^-1•f（x）-（x+1）．（e=2.718…）
（1）求函數(shù)g（x）的極大值；
（2 ）求證：；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與h（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數(shù)f（x）與h（x）的“分界線”．設(shè)函數(shù)，試探究函數(shù)f（x）與h（x）是否存在“分界線”？若存在，請(qǐng)加以證明，并求出k，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)于含有對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)的極值問(wèn)題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究，故先求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)解不等式令g′（x）＞0解決．
（2）由題意得：“l(fā)nx≤x-1，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）”，令t=x-1得：t≥ln（t+1），取，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)列問(wèn)題解決．
（3）設(shè)，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究此函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴．（1分）
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，（2分）
∴函數(shù)g（x）在（0，1）上遞增，（1，+∞）上遞減，∴g（x）_極大=g（1）=-2．（4分）
（Ⅱ）證明：由（1）知x=1是函數(shù)g（x）極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，∴g（x）≤g（1）=-2，
即lnx-（x+1）≤-2⇒lnx≤x-1，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）（5分）
令t=x-1得：t≥ln（t+1），取，
則，（7分）
∴，
迭加得（8分）
（Ⅲ）設(shè)，
則．
∴當(dāng)時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增．
∴是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，∴
∴函數(shù)f（x）與h（x）的圖象在處有公共點(diǎn)．（9分）
設(shè)f（x）與h（x）存在“分界線”且方程為：．
令函數(shù)，
�。┯�在x∈R恒成立，
即在R上恒成立，
∴成立，
∴，故．（11分）
ⅱ）下面再證明：恒成立．
設(shè)，則．
∴當(dāng)時(shí)，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，φ′（x）＜0．函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減．
∴時(shí)φ（x）取得最大值0，則（x＞0）成立．（13分）
綜上�。┖廷ⅲ┲�：且，
故函數(shù)f（x）與h（x）存在分界線為，此時(shí)．（14分）
另解：令f（x）=h（x），則，探究得兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為，
設(shè)存在“分界線”且為：，令函數(shù)，
再證：h（x）-u（x）≥0恒成立；f（x）-u（x）≤0恒成立證法同上ⅰ）和ⅱ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，研究函數(shù)的最值問(wèn)題．考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識(shí)