(04年天津卷理)(12分)

   如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱底面ABCD,,E是PC的中點(diǎn),作交PB于點(diǎn)F。

      (I)證明 平面

      (II)證明平面EFD;

      (III)求二面角的大小。

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解析:方法一:

(I)                 證明:連結(jié)AC,AC交BD于O。連結(jié)EO。

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


  底面ABCD是正方形,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)

中,EO是中位線,。

平面EDB且平面EDB,

所以,平面EDB。                              。。。。。。。。。。。。。。3分

(II)證明:底在ABCD且底面ABCD,

                           ①

同樣由底面ABCD,得

  底面ABCD是正方形,有平面PDC

平面PDC,        ②           。。。。。。。。。。。。。。6分

由①和②推得平面PBC

平面PBC,

,所以平面EFD   。。。。。。。。。。。。。。。。8分

(III)解:由(II)知,,故是二面角的平面角

由(II)知,

設(shè)正方形ABCD的邊長為,則

中,

            。。。。。。。。。。。。10分

中,

所以,二面角的大小為

方法二:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,D為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)

 

 
 

 

 


(I)證明:連結(jié)AC,AC交BD于G。連結(jié)EG。

依題意得

  底面ABCD是正方形,

是此正方形的中心,

故點(diǎn)G的坐標(biāo)為

         

。這表明。

平面EDB且平面EDB,平面EDB。

(II)證明:依題意得。又

由已知,且所以平面EFD。

(III)解:設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為

從而    所以

由條件知,

             解得 。

  點(diǎn)F的坐標(biāo)為 且

,故是二面角的平面角。

          

所以,二面角的大小為

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     ,

    

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。

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