Question

若a＞0，b＞0，a³+b³=2．求證

<

a+b≤2，ab≤1．

 

Answer 1

答案：
解析：

分析　 由條件a3+b3=2及待證的結論a+b≤2的結構入手，聯(lián)想它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，不妨用作差比較法或均值不等式或構造方程等等方法，架起溝通二者的“橋梁”． 證法一　 (作差比較法) 因為a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 (a＋b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6 =3[ab(a+b)－2]=3[ab(a+b)－(a3+b3)]=－3(a+b)(a－b)2≤0， 即　　　　　　 (a+b)3≤23． 證法二　 (平均值不等式—綜合法) 因為a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 < 所以a+b≤2，ab≤1． 證法三　 (構造方程) 設a，b為方程x2－mx+n=0的兩根．則 因為a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且Δ=m2－4n≥0．① 因此< span lang=EN-US style='font-size:10.5pt; font-family:"Times New Roman";color:black'>2=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)[(a+b)2－3ab]=m[m2－3n]，所以 將②代入①得：，即： 所以a+b≤2． 由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以 ab≤1．お 評述 　認真觀察不等式的結構，從中發(fā)現(xiàn)與已學知識的內(nèi)在聯(lián)系，就能較順利地找到解決問題的切入點． 證法四　 (恰當?shù)呐錅?/span>) 因為a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)， 于是有6≥3ab(a+b)，從而 8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3， 所以a+b≤2．(以下略) 即a+b≤2．(以下略) 證法六　 (反證法) 假設a+b＞2，則 a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)[(a+b)2－3ab]＞< /span>2(22－3ab)． 因為a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1．　　　　　　　　　　　　① 另一方面， 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=(a+b)·ab＞2ab， 所以ab＜1．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　      　 ② 于是①與②矛盾，故a+b≤2．(以下略) 評述　 此題用了六種不同的方法證明，這幾種證法都是證明不等式的常用方法．