Question

已知三棱錐 S-ABC 的底面是正三角形，A 點(diǎn)在側(cè)面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心，二面角 H-AB-C 的平面角等于30°，SA=2．那么三棱錐 S-ABC 的體積為________．

Answer 1

分析：作BH⊥SC于E，設(shè)S在面ABC內(nèi)射影為O，則O為△ABC的垂心，且為△ABC的中心，可證∠EFC是二面角H-AB-C的平面角，進(jìn)而利用體積公式，可得結(jié)論．
解答：解：由題設(shè)，AH⊥面SBC，作BH⊥SC于E．
由三垂線定理可知SC⊥AE，SC⊥AB，所以SC⊥面ABE．
設(shè)S在面ABC內(nèi)射影為O，則SO⊥面ABC．
由三垂線定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．
同理，BO⊥AC，故O為△ABC的垂心．
又因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，故O為△ABC的中心，從而SA=SB=SC=．
因?yàn)镃F⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂線定理，EF⊥AB．
所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角，故∠EFC=30°，
∴OC=SCcos60°==，
∴SO=tan60°==3．
又OC=AB，故AB=OC==3．
所以，V_S-ABC==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐體積的計(jì)算，考查三垂線定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．