Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足，令．
（1）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等差數(shù)列？
（2）若，求{c_n}前n項(xiàng)的和S_n；
（3）是否存在m，n（m，n∈N^*，m≠n）使得1，a_m，a_n三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列？若存在，求出m，n；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得=，
∴，
∵
所以b_n+1²=b_n²+2b_n+1
∴b_n+1=b_n+1，
所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）由（1）得：b_n+1=b_n+1且b₁=1，∴b_n=n，
即，∴，
∴=，
則=；
（3）設(shè)存在m，n滿足條件，則有1•a_n=a_m²
∴，
即4（n²-1）=（m²-1）²，
所以m²-1必為偶數(shù)，設(shè)為2t，
則n²-1=t²，∴n²-t²=1
∴（n-t）（n+t）=1，
∴有或，即n=1，t=0，
∴m²-1=2t=0，∴m=1與已知矛盾．
∴不存在m，n（m，n∈N^*，m≠n）使得1，a_m，a_n三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列．
分析：（1）將條件化為，根據(jù)，可得b_n+1²=b_n²+2b_n+1，即b_n+1=b_n+1，從而數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）由（1）可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，從而可得，由此可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，由于，利用裂項(xiàng)法可求{c_n}前n項(xiàng)的和S_n；
（3）設(shè)存在m，n滿足條件，則有1•a_n=a_m²，從而可化簡(jiǎn)為4（n²-1）=（m²-1）²，所以m²-1必為偶數(shù)，設(shè)為2t，從而可有n-t）（n+t）=1，所以有或，即n=1，t=0，進(jìn)而引出矛盾，問題得解．
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列的遞推式為載體，考查等差數(shù)列的定義，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，同時(shí)考查了存在性問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新數(shù)列，利用假設(shè)存在，轉(zhuǎn)化為封閉型問題．