Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=BC=4，AD=2，AC=AB=3，AD∥BC，N是PC的中點．
（Ⅰ）證明：ND∥面PAB；
（Ⅱ）求三棱錐N-ACD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB中點M，連結(jié)AM，MN，推導(dǎo)出四邊形AMND是平行四邊形，從而ND∥AM，由此能證明ND∥面PAB．
（Ⅱ）N到面ABCD的距離等于P到面ABCD的距離的一半，且PA⊥面ABCD，PA=4，從而三棱錐N-ACD的高是2，由此能求出三棱錐N-ACD的體積．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）如圖，取PB中點M，連結(jié)AM，MN．
∵M(jìn)N是△BCP的中位線，∴$MN\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BC$．    （2分）
依題意得，$AD\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BC$，則有$AD\underline{\underline{∥}}MN$（3分）
∴四邊形AMND是平行四邊形，∴ND∥AM（4分）
∵ND?面PAB，AM?面PAB，
∴ND∥面PAB（6分）
解：（Ⅱ）∵N是PC的中點，
∴N到面ABCD的距離等于P到面ABCD的距離的一半，且PA⊥面ABCD，PA=4，
∴三棱錐N-ACD的高是2．（8分）
在等腰△ABC中，AC=AB=3，BC=4，BC邊上的高為$\sqrt{{3^2}-{2^2}}=\sqrt{5}$．（9分）
BC∥AD，∴C到AD的距離為$\sqrt{5}$，
∴${S_{△ADC}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}=\sqrt{5}$．（11分）
∴三棱錐N-ACD的體積是$\frac{1}{3}×\sqrt{5}×2=\frac{2}{3}\sqrt{5}$．（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．