Question

設(shè)函數(shù) 

（1）證明 當(dāng)，時(shí)，；

（2）討論在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析；（2） 時(shí)有唯一零點(diǎn) ，時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，時(shí)有唯一零點(diǎn)， 時(shí)無(wú)零點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）構(gòu)造新函數(shù)后證明>0恒成立即可；（2）當(dāng)時(shí)通過(guò)單調(diào)性可知零點(diǎn)只有一個(gè)，當(dāng)時(shí)通過(guò)的最大值與0的比較即可判斷零點(diǎn)情況.

試題解析：(1) ,令 ，

 ，令 ，則令 ，令 ， .

令 得 .當(dāng) 時(shí) 單調(diào)遞增， 時(shí) 單調(diào)遞減，

又 ， ，∴在上恒小于零.即當(dāng)時(shí) 單調(diào)遞減.

又 ，∴當(dāng)時(shí)，>0恒成立，即.

(2) .

1°當(dāng) 時(shí)， 恒成立,即 單調(diào)遞增，此時(shí) ， ，此時(shí)的零點(diǎn)在 上.

2°當(dāng) 時(shí)， ， .

∴在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，∴ 為的最大值點(diǎn).

令 可得 即當(dāng)時(shí)有唯一零點(diǎn)；

當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn) ， ；

當(dāng) 時(shí)， ，∴在 上無(wú)零點(diǎn).

綜上所述， 時(shí)有唯一零點(diǎn) ，

時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，

時(shí)有唯一零點(diǎn)，

 時(shí)無(wú)零點(diǎn).

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)證明不等式；2.函數(shù)的零點(diǎn)；3函數(shù)的單調(diào)性和最值.