Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，是與的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若b₁=a₁，且b_n=2b_n-1+3，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用是與的等比中項(xiàng)，可得，再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）確定數(shù)列{b_n+3}是公比為2的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）利用錯(cuò)位相減法，即可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
解答：（Ⅰ）證明：∵是與的等比中項(xiàng)，
∴
∴n≥2時(shí)，
兩式相減可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵數(shù)列各項(xiàng)為正
∴a_n-a_n-1=2
∵n=1時(shí)，
∴a₁=1
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）解：∵b_n=2b_n-1+3，∴b_n+3=2（b_n-1+3），
∴數(shù)列{b_n+3}是公比為2的等比數(shù)列
∵b₁=a₁=1，
∴b₁+3=4，∴b_n+3=2ⁿ⁺¹
∴b_n=2ⁿ⁺¹-3；
（Ⅲ）解：在（Ⅱ）的條件下，=，
∴T_n=
∴T_n=
兩式相減可得T_n==
∴T_n=．
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的判定，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，看下錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．