Question

已知函數f(x)=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

（ I）當x∈(0，

π

2

)，求f（x）的值域；
（II）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=

3

，f（C）=0，若向量

m

=（1，sinA）與向量

n

=（2，sinB）共線，求a，b的值．

Answer 1

分析：（ I）化簡函數f（x）的解析式為sin（2x-

π

6

）-1，由x∈(0，

π

2

) 求得sin（2x-

π

6

）的范圍，可得函數的解析式．
（II）△ABC中，由f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0求出sin（2C-

π

6

）的值，可得C=

π

3

．再由兩個向量共線的性質，可得b=2a，再由 cosC=

a2+b2- c2

2ab

=

1

2

，求得a，b的值．

解答：解：（ I）∵f(x)=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，x∈(0，

π

2

)，
∴2x-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

），∴-

1

2

＜sin（2x-

π

6

）≤1，∴-

3

2

＜f（x）≤0，即函數f（x）的值域為（-

3

2

，0]．
（II）△ABC中，∵f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，∴sin（2C-

π

6

）=1，∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

．
∵

m

∥

n

，

m

=（1，sinA）與向量

n

=（2，sinB），∴sinB-2sinA=0，由正弦定理可得 b=2a．
又 cosC=

a2+b2- c2

2ab

=

1

2

，解得a=1，b=2．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，余弦定理、兩個向量共線的性質，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．