Question

某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本．經(jīng)統(tǒng)計，得到下列關(guān)于產(chǎn)品重量的樣本頻數(shù)分布表：

甲流水線 產(chǎn)品重量（單位：克）	頻數(shù)
（490，495]	2
（495，500]	12
（500，505]	18
（505，510]	6
（510，515]	2

乙流水線 產(chǎn)品重量（單位：克）	頻數(shù)
（490，495]	6
（495，500]	8
（500，505]	14
（505，510]	8
（510，515]	4

已知產(chǎn)品的重量合格標(biāo)準(zhǔn)為：重量值（單位：克）落在（495，510]內(nèi)的產(chǎn)品為合格品；否則為不合格品．
（Ⅰ）從甲流水線樣本的合格品中任意取2件，求重量值落在（505，510]的產(chǎn)品件數(shù)X的分布列；
（Ⅱ）從乙流水線中任取2件產(chǎn)品，試根據(jù)樣本估計總體的思想，求其中合格品的件數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）從甲、乙流水線中各取2件產(chǎn)品，用ξ表示“甲流水線合格品數(shù)與乙流水線合格品數(shù)的差的絕對值”，并用A表示事件“關(guān)于x的一元二次方程2x²+2ξx+ξ=0沒有實(shí)數(shù)解”． 試根據(jù)樣本估計總體的思想，求事件A的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）先確定X的可能取值為0，1，2，再分別求出概率，列表即可，
（Ⅱ）為合格品的概率p=

3

4

．  再得出合格品的件數(shù)符合二項分布Y～B(2，

3

4

)． 由二項分布的期望方差可知．
（Ⅲ）根據(jù)根的判別式，求出ξ的值，再求出事件A（即ξ=1）包含四種情況，再根據(jù)概率公式求出即可．

解答： 解：（Ⅰ）頻數(shù)分布表知，甲樣本中合格品數(shù)為12+18+6=36，其中重量值落在（505，510]的產(chǎn)品為6件．
∴X的可能取值為0，1，2，
且P(X=k)=

C k 6 • C 2-k 30

C 2 36

   (k=0，1，2)．           
P(X=0)=

C 2 30

C 2 36

=

29

42

；P(X=1)=

C 1 6 • C 1 30

C 2 36

=

2

7

，P(X=2)=

C 2 6

C 2 36

=

1

42

．
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	29 42	2 7	1 42

（Ⅱ）由頻數(shù)分布表知，乙樣本中合格品數(shù)為8+14+8=30件，
∴若從乙樣本中任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率p=

3

4

．      
根據(jù)樣本估計總體的思想，可估計從乙流水線上任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率p=

3

4

．                                                       
∵從乙流水線上所取的2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2次獨(dú)立重復(fù)試驗，
∴合格品的件數(shù)Y～B(2，

3

4

)．             
∴EY=2×

3

4

=

3

2

，即合格品的件數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望為

3

2

．           
（Ⅲ）由方程2x²+2ξx+ξ=0沒有實(shí)數(shù)解，得△=4ξ²-8ξ＜0，
解得0＜ξ＜2，∴ξ=1．                              
記“從甲流水線中任取2件產(chǎn)品，其中合格品的件數(shù)”為Z，“從乙流水線中任取2件產(chǎn)品，其中合格品的件數(shù)”為Y，則ξ=|Z-Y|．
∵Z與Y都有0，1，2三種可能的取值，
∴事件A（即ξ=1）包含四種情況：

Z=0 Y=1

或

Z=1 Y=0

或

Z=1 Y=2

或

Z=2 Y=1

．  
由（Ⅱ）知，從乙流水線上任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率p=

3

4

．
仿（Ⅱ）的做法，可知從甲流水線上任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率p=

9

10

．
∵從同一條流水線上所取的2件產(chǎn)品互不影響，不同流水線上的取法之間也互不影響，

∴P(ξ=1) =( 1 10 )2× C 1 2 × 3 4 × 1 4 + C 1 2 × 9 10 × 1 10 ×( 1 4 )2+ C 1 2 × 9 10 × 1 10 ×( 3 4 )2+( 9 10 )2× C 1 2 × 3 4 × 1 4 = 21 50 .

所以事件A的概率P(A)=P(ξ=1)=

21

50

．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及期望與方差，涉及概率和頻率分布表的應(yīng)用，屬中檔題．