Question

如圖,矩形ABCD中,AB=,BC=2,橢圓M的中心和準線分別是已知矩形的中心和一組對邊所在直線,矩形的另一組對邊間的距離為橢圓的短軸長,橢圓M的離心率大于0.7.

(1)建立適當的平面直角坐標系,求橢圓M的方程;

(2)過橢圓M的中心作直線l與橢圓交于P,Q兩點,設橢圓的右焦點為F₂,當∠PF₂Q=時,求△PF₂Q的面積.

Answer 1

解:方程為=1(a＞b＞0),

(1)依題意:,b=1,a²=b²+c²,

∵橢圓M的離心率大于0.7,∴a²=4,b²=1.∴橢圓方程為+y²=1.

(2)∵直線l過原點與橢圓交于點P、Q,設橢圓M的左焦點為F₁.

由對稱性可知,四邊形PF₁QF₂是平行四邊形.∴△PF₂Q的面積等于△PF₁F₂的面積.

∵∠PF₂Q=,∴∠F₁PF₂=.設|PF₁|=r₁,|PF₂|=r₂,則

∴r₁r₂=.

∴==r₁r₂sin=.