Question

已知橢圓

x2

3

+

y2

4

=1的焦點(diǎn)F與拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)關(guān)于直線x-y=0對稱．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知定點(diǎn)A（a，b），B（-a，0）（ab≠0，b²≠4a），M是拋物線C上的點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一交點(diǎn)為M₁，M₂．求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要M₁，M₂存在且M₁≠M(fèi)₂）直線M₁M₂恒過一定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可知橢圓的a，b，求得c進(jìn)而求得橢圓的焦點(diǎn)，利用點(diǎn)關(guān)于直線的對稱求得拋物線的焦點(diǎn)，求得p，則拋物線的方程可得．
（Ⅱ）設(shè)M，M₁，M₂的坐標(biāo)由三點(diǎn)共線，利用斜率相等整理求得y₁與y₀的關(guān)系，同樣的道理可求得y₂與y₀的關(guān)系，設(shè)（x，y）是直線M₁，M₂上的任意一點(diǎn)，求得y₁y₂=y（y₁+y₂）-4x把y₁y₂代入整理，利用等式恒成立建立方程組求得x和y，進(jìn)而可判斷出動(dòng)直線M₁，M₂恒過定點(diǎn)．

解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=

3

，∴c=1
橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，即F（0，1），F(xiàn)關(guān)于直線x-y=0對稱的點(diǎn)為（1，0）；
而拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

p

2

，0）p=2，所以所求拋物線的方程為y²=4x
（Ⅱ）證明：設(shè)M，M₁，M₂的坐標(biāo)分別為(

y0 2

4

，y0)，(

y1 2

4

，y1)，(

y2 2

4

，y2)
由A、M、M₁三點(diǎn)共線得：

y1 2 4 - y0 2 4

y1-y0

=

y0 2 4 -a

y0-b

，
化簡得y₁y₀=b（y₁+y₀）-4a，
∴y₁=

by0-4a

y0-b

；
同理，由B、M、M₂三點(diǎn)共線得：y₂=

4a

y0

設(shè)（x，y）是直線M₁，M₂上的任意一點(diǎn)，則y₁y₂=y（y₁+y₂）-4x；
把y₁y₂代入上式整理得：y₀²（4x-by）+4by₀（a-x）+4a（by-4a）=0；
由M是任意的，則有

4x-by=0 a-x=0 by-4a=0

?

x=a y= 4a b

，
所以動(dòng)直線M₁，M₂恒過定點(diǎn)(a，

4a

b

)

點(diǎn)評：圓錐曲線和直線是解析幾何的主線，考查學(xué)生的運(yùn)算能力是解析幾何的重要部分，特別是包含比較多字母的運(yùn)算，同時(shí)也考查了“設(shè)而不求”的解題策略和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．