已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且公比不等于1，數(shù)列對任意正整數(shù)n，均有： 成立；

(1)求數(shù)列的通項公式及前n項和；

(2)在數(shù)列中依次取出第1項，第2項，第4項，第8項，……，第項，……，組成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前n項和；

（3）對（1）（2）中的 、，當時，比較與的大小。

解：（I）設公比為 ……………………2分 

代入得

即∵，∴，

∴∴是等差數(shù)列   ……………………4分 

=2   ∴   …………6分 

（Ⅱ）

……………………8分 

（3）時，時，

；猜測時，            …………10分 

用數(shù)學歸納法證明如下

（1）時，（已證）

（2）假設時不等式成立，即 ……………………12分 

時，

又

∴

即時，不等式成立。

由（1）（2）知，當時， ……………14分 

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（14分）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且公比不等于1，數(shù)列對任意正整數(shù)n，均有： 

成立，又。

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及前n項和；

（Ⅱ）在數(shù)列中依次取出第1項，第2項，第4項，第8項，……，第項，……，組成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前n項和；

（Ⅲ）當時，比較與的大小。

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆湖北省襄陽市四校高一下學期期中聯(lián)考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，設，，則 與的大小關系是

A．           B．           C．         D．無法確定

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年甘肅省高三第三次模擬考試數(shù)學 題型：填空題

對于數(shù)列 ，定義數(shù)列 為數(shù)列的“差數(shù)列”，若=2，的“差數(shù)列”的通項為，則數(shù)列的前n項和 =           

 （文）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和為 ，若，，則=        

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江蘇省高三第三次學情調(diào)查數(shù)學 題型：解答題

．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設，求數(shù)列的前n項和．

（Ⅲ）設，求數(shù)列{}的前項和．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012年山東省濟寧市高二上學期期中考試文科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分12分）

    已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且

（I）        求的通項公式

（II）令，求數(shù)列的前n項和

 

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