Question

已知f(x)=

1 x -1

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷并用定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（4）若對(duì)任意滿足x₁+x₂=m的正實(shí)數(shù)x₁、x₂，不等式f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m）恒成立．求m的取值范圍．

Answer 1

（1）由

1

x

-1≥0得定義域?yàn)椋?，1]．
（2）f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，證明如下．
設(shè)0＜x₁＜x₂≤1，則f(x2)-f(x1)=

1 x2 -1

-

1 x1 -1

=

x1-x2 x2x1

1 x2 -1 + 1 x1 -1

＜0．
即f（x₂）＜f（x₁）．這就是說函數(shù)f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減．
（3）令y=

1 x -1

，解得x=

1

1+y2

（y≥0），即f-1(x)=

1

1+x2

（x≥0）．
（4）由f^-1（x₁）f^-1（x₂）＞f^-1（m），
化簡(jiǎn)得到：（1+x₁²）（1+x₂²）＜1+m²．
注意到m=x₁+x₂，以及x₁，x₂＞0代入整理得：x₁x₂＜2．
把x₂=m-x₁代入整理得到：x₁²-mx₁+2＞0．
該關(guān)于x₁的不等式對(duì)于一切（0，m）內(nèi)的x₁恒成立．
所以(

m

2

)2-m•

m

2

+2＞0．解得0＜m＜2

2

．