Question

點(diǎn)A、B分別是以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓C長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且位于x軸上方， 
（1）求橢圓C的的方程；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到M的距離d的最小值。

Answer 1

（1） ；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）當(dāng)時，d取最小值 。

試題分析：（I）求出雙曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)，得出橢圓的a，c，b即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由已知得，與(x+6)(x-4)+y²=0
解方程組可得點(diǎn)P的坐標(biāo)
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M是（m，0）于是=|m-6|，解出m=2，建立橢圓上的點(diǎn)到M的距離d的表達(dá)式，用函數(shù)知識求最值。
（1）已知雙曲線實(shí)半軸a₁=4，虛半軸b₁=2，半焦距c₁=，
∴橢圓的長半軸a₂=c₁=6，橢圓的半焦距c₂=a₁=4，橢圓的短半軸=，
∴所求的橢圓方程為                   …………4分
（2）由已知,，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則
由已知得
             …………6分
則，解之得，       
由于y>0，所以只能取，于是，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為……8分
（3）直線，設(shè)點(diǎn)M是，則點(diǎn)M到直線AP的距離是，于是，
又∵點(diǎn)M在橢圓的長軸上，即         …………10分
∴當(dāng)時，橢圓上的點(diǎn)到的距離
   
又  ∴當(dāng)時，d取最小值         …………12分
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是熟練的運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)來表示出橢圓的a,b,c，進(jìn)而得到方程，同時聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理求點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而分析最值。