Question

已知數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁-1，a₂-1，a₃+1成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

2

an+1•an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得到(a2-1)2=(a1-1)(a3+1)，代入公差后求得a₁，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）把a(bǔ)_n代入b_n=

2

an+1•an

并列項(xiàng)，然后利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵a₁-1，a₂-1，a₃+1成等比數(shù)列，
∴(a2-1)2=(a1-1)(a3+1)，即(a1+1)2=(a1-1)(a1+5)，
解得：a₁=3．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，
則a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）b_n=

2

an+1•an

=

2

(2n+3)(2n+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

．
∴T_n=b1+b2+…+bn=(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

1

3

-

1

2n+3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．