動點P與點F(1,0)的距離和它到直線l:x=-1的距離相等,記點P的軌跡為曲線C1.圓C2的圓心T是曲線C1上的動點,圓C2與y軸交于M,N兩點,且|MN|=4.
(1)求曲線C1的方程;
(2)設(shè)點A(a,0)(a>2),若點A到點T的最短距離為a-1,試判斷直線l與圓C2的位置關(guān)系,并說明理由.
分析:(1)設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x,y),依題意,得
=|x+1|,由此能得到曲線C
1的方程.
(2)設(shè)點T的坐標(biāo)為(x
0,y
0),圓C
2的半徑為r,點T是拋物線C
1:y
2=4x上的動點,y
02=4x
0(x
0≥0).
|AT|==
=
.
∵a>2,∴a-2>0,則當(dāng)x
0=a-2時,|AT|取得最小值為
2,由此入手能夠判斷判斷直線l與圓C
2的位置關(guān)系.
解答:解:(1)設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x,y),依題意,得|PF|=|x+1|,
即
=|x+1|,(2分)
化簡得:y
2=4x,
∴曲線C
1的方程為y
2=4x.(4分)
(2分)
∴曲線C
1的方程為y
2=4x.(4分)
(2)設(shè)點T的坐標(biāo)為(x
0,y
0),圓C
2的半徑為r,
∵點T是拋物線C
1:y
2=4x上的動點,
∴y
02=4x
0(x
0≥0).
∴
|AT|=(6分)
=
=
.
∵a>2,∴a-2>0,則當(dāng)x
0=a-2時,|AT|取得最小值為
2,(8分)
依題意得
2=a-1,
兩邊平方得a
2-6a+5=0,
解得a=5或a=1(不合題意,舍去).(10分)
∴x
0=a-2=3,y
02=4x
0=12,即
y0=±2.
∴圓C
2的圓心T的坐標(biāo)為(3,±2
).
∵圓C
2與y軸交于M,N兩點,且|MN|=4,
∴
|MN|=2=4.
∴
r==.(12分)
∵點T到直線l的距離
d=|x0+1|=4>,
∴直線l與圓C
2相離.(14分)
點評:本題考查圓的性質(zhì)和綜合應(yīng)用,解題時要認真審題,注意解答,合理進行等價轉(zhuǎn)化.