已知向量
a
=(sinx，1)，
b
=(cosx，-
1
2
)．
（Ⅰ） 當
a
⊥
b
時，求|
a
+
b
|的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)=
a
•(
b
-
a
)的最小正周期．
分析：（Ⅰ）由于|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=
a
2+2
a
•
b
+
b
2
=
a
2+
b
2
，代入坐標即可
（Ⅱ）由向量的數(shù)量積及二倍角公式、輔助角公式對函數(shù)化簡可得f(x)=
a
•
b
-
a
2=sinxcosx-
1
2
-sin2x-1=
2
2
sin(2x+
π
4
)-2，代入周期公式可求
解答：解：（Ⅰ）由已知得     
a
•
b
=0
∵|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=
a
2+2
a
•
b
+
b
2
=
a
2+
b
2

=
sin2x+1+cos2x+
1
4
=
3
2
…（7分）
（Ⅱ）∵f(x)=
a
•
b
-
a
2=sinxcosx-
1
2
-sin2x-1
=
1
2
sin2x-
1-cos2x
2
-
3
2
=
2
2
sin(2x+
π
4
)-2
所以 函數(shù)f（x）的周期是π-------（14分）
點評：本題主要考查了平面向量與三角函數(shù)的綜合應用，此類問題一般是以向量的基本運算為載體，以向量運算轉化為三角函數(shù)表達式，然后考查相應函數(shù)的性質．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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