Question

在平面直角坐標(biāo)系中，以圓點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρ=2acosθ+2asinθ（a＞0），直線l的參數(shù)方程為：

x=-1+ 2 2 t y=-2+ 2 2 t

（l為參數(shù)），直線l與曲線C分別交于M，N．
（Ⅰ）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（-1，-2），若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：直線與圓,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）利用極坐標(biāo)公式把曲線C的極坐標(biāo)方程化為普通方程，
消去參數(shù)t，把直線l的參數(shù)方程化為普通方程；
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程中，得到關(guān)于t的一元二次方程，
由△＞0，且|MN|²=|PM|•|PN|，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵ρ=2acosθ+2asinθ（a＞0），
∴ρ²=2aρcosθ+2aρsinθ；
化為普通方程是x²+y²=2ax+2ay，
即C：（x-a）²+（y-a）²=2a²；
直線l的參數(shù)方程

x=-1+ 2 2 t y=-2+ 2 2 t

（l為參數(shù)），
化為普通方程是y=-2+（x+1），
即y=x-1；
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程

x=-1+ 2 2 t y=-2+ 2 2 t

（l為參數(shù)）
代入C：x²+y²=2ax+2ay中，
化簡(jiǎn)得t²-3

2

t+5=-6a+2

2

at，
即t²-

2

（3+2a）t+5+6a=0；
∵△=[

2

(3+2a)]2-4（5+6a）＞0，且a＞0，
解得a＞

1

2

；
由根與系數(shù)的關(guān)系，得t₁+t₂=

2

（3+2a），t₁t₂=5+6a；
又∵|MN|²=|PM|•|PN|，
∴|t1-t2|2=t₁•t₂，
即(t1+t2)2=5t₁•t₂；
∴[

2

(3+2a)]2=5（5+6a），
整理，得8a²-6a-7=0，
解得a=

3+ 65

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的參數(shù)方程和極坐標(biāo)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)熟練地進(jìn)行參數(shù)方程、極坐標(biāo)與普通方程的互化，理解直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，是中檔題．