已知函數(shù)f(x)=
1+alnxx
,(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在(1)條件下,若直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象相切,求實(shí)數(shù)k的值.
分析:(1)根據(jù)極值的定義可得f′(1)=0求出a的值然后再回代到題中利用極值的定義判斷函數(shù)f(x)是否在x=1處取得極值以免產(chǎn)生增根.
(2)設(shè)切點(diǎn)A(x0,y0)根據(jù)直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象相切和導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k=f′(x0)再根據(jù)k=kOA建立關(guān)于x0的等式然后求出x0(要注意其大于0)進(jìn)而求出k
解答:解:(1)∵f(x)=
1+alnx
x

∴f′(x)=
a-1-alnx
x2

∵函數(shù)f(x)在x=1處取得極值
∴f′(1)=a-1=0
∴a=1
經(jīng)檢驗(yàn),a=1時f′(x)=-
lnx
x2
故0<x<1時f′(x)>0,x>1時f′(x)<0,所以函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減故f(x)在x=1處取得極值.
∴a=1
(2)由(1)可知a=1
∴f(x)=
1+lnx
x

∴f′(x)=-
lnx
x2

設(shè)切點(diǎn)A(x0,y0
∴k=f′(x0)=-
Inx0
x
2
0

又∵k=kOA=
1+lnx0
x02

1+Inx0
x
2
0
=-
Inx0
x
2
0

∴l(xiāng)nx0=-
1
2

x0e-
1
2

∴k=kOA=
1+lnx0
x02
=
1-
1
2
(e-
1
2
)
2
=
e
2
點(diǎn)評:本題主要考查了函數(shù)極值的概念已及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,屬?碱},較難.解題的關(guān)鍵是在第二問中根據(jù)直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象相切和導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出k=f′(x0)而直線y=kx有過原點(diǎn)故k=kOA從而建立了關(guān)于x0的等式
1+Inx0
x
2
0
=-
Inx0
x
2
0
但要注意x0>0!
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(  )
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1,x∈Q
0,x∉Q
,則f[f(π)]=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx(a>0)

(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1時,求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)當(dāng)a=1時,求證對任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
π
6
),其中x∈R,則下列結(jié)論中正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1+logax(a>0,a≠1),滿足f(9)=3,則f-1(log92)的值是( 。

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