Question

根據(jù)指令，機(jī)器人在平面上能完成下列動作：先從原點O沿正東偏北α(0≤α≤

π

2

)方向行走一段時間后，再向正北方向行走一段時間，但何時改變方向不定．假定機(jī)器人行走速度為10米/分鐘，則機(jī)器人行走2分鐘時的可能落點區(qū)域面積為

100π-200

．

Answer 1

分析：設(shè)改變方向的點為M，過M作x軸的垂線，垂足為N，根據(jù)速度和時間求出|OM|+|PM|的長，在△OPM中然后根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊列出一個不等式，然后在△OMN中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊列出另外一個不等式，然后再根據(jù)x大于等于0，y大于等于0，在平面直角坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的平面區(qū)域為一個弓形，如圖所示，利用四分之一圓的面積減去等腰直角三角形的面積即可求出弓形的面積．

解答：解：設(shè)改變方向的點為M，
依題意|OM|+|MP|=10×2=20米，
△OPM中，|OM|+|MP|≥|OP|（當(dāng)O、M、P共線時“=”成立），
∴|OP|≤20，即x²+y²≤400，
又△OMN中，|OM|≤|ON|+|MN|（當(dāng)O、M、N共線時“=”成立），
∴|OM|+|MP|≤|ON|+|MN|+|MP|=x+y，
∴x+y≥20
∴區(qū)域S：

x2+y2≤400 x+y≥20 x≥0 y≥0

為弓形，
則面積為

1

4

π×20²-

1

2

×20×20=100π-200．
故答案為：100π-200．

點評：本題考查的知識點是扇形面積公式\二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．根據(jù)三角形的性質(zhì)，判斷邊與邊之間的關(guān)鍵是解答本題的關(guān)鍵．