Question

（示范高中）已知直線l過點(diǎn)M（-3，3），圓N：x²+y²+4y-21=0．
（1）求截得圓N弦長最長時l的直線方程；
（2）若直線l被圓N所截得的弦長為8，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）把圓N的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心N的坐標(biāo)，根據(jù)題意可知直線l過圓心時截得的弦最長，故由N及M的坐標(biāo)確定出直線l的方程即可；
（2）設(shè)直線l與圓N交于A和B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，過圓心N作ND垂直于AB，根據(jù)垂徑定理得到D為AB的中點(diǎn)，從而得到|DB|=4，接下來分兩種情況考慮：第一，直線l的斜率不存在時，可得直線l的方程為x=-3，把x=-3代入圓N的方程中，得到關(guān)于y的一元二次方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，經(jīng)過檢驗得到y(tǒng)=-6時，弦AB的長為8，符合題意；第二，當(dāng)直線k的斜率存在時，設(shè)出直線l的斜率為k，由M的坐標(biāo)和設(shè)出的斜率k寫出直線l的方程，在直角三角形BDN中，由|DB|的長及半徑|NB|的長，利用勾股定理求出|ND|的長，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心N到直線l的距離d，令d等于求出的|ND|的長列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出直線l的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線l的方程．

解答：解：（1）顯然，當(dāng)直線l通過圓心N時，被截得的弦長最長．（2分）
由x²+y²+4y-21=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y+2）²=25，
可得：圓心N（0，-2），又M（-3，3），
故所求直線l的方程為：

x-0

-3-0

=

y-(-2)

3-(-2)

，即5x+3y+6=0；（4分）

（2）設(shè)直線l與圓N交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)（如圖）

作ND⊥AB交直線l于點(diǎn)D，顯然D為AB的中點(diǎn)．且有|BD|=

|AB|

2

=4，（6分）
（i）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-3，
將x=-3代入x²+y²+4y-21=0，得y²+4y-12=0，
解得：y=-6或2，
因此|AB|=|2-（-6）|=8符合題意；（8分）
（ii）若直線l的斜率存在，不妨設(shè)直線l的方程為y-3=k（x+3）即：kx-y+3k+3=0
由x²+y²+4y-21=0，得N（0，-2），r=5，
因此|ND|=

r2-|BD|2

=

25-16

=3，（10分）
又因為點(diǎn)N到直線l的距離|ND|=

|-(-2)+3k+3|

1+k2

，
所以

|-(-2)+3k+3|

1+k2

=3，解得：k=-

8

15

，
此時直線l的方程為：8x+15y-21=0，
綜上可知，直線l的方程為8x+15y-21=0或x=-3．（12分）

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的兩點(diǎn)式方程，垂徑定理，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離公式，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，當(dāng)直線與圓相交時，常常做出直線與圓相交弦的弦心距，由弦心距，圓的半徑及弦的一半構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．