(2006•朝陽區(qū)三模)已知:在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=a,AA1=2a,D、E分別是側(cè)棱BB1和AC1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求異面直線AD與A1C1所成角的余弦值;
(Ⅱ)求證:ED⊥平面ACC1A1;
(Ⅲ)求平面ADC1與平面ABC所成二面角的大小.
分析:(Ⅰ)正三棱柱中AC∥A1C1,∠CAD是異面直線AD與A1C1所成的角.在△ACD中求解.
(Ⅱ)通過證明ED⊥AC.ED⊥AC1.證出ED⊥平面ACC1A1.(或證ED∥GB,GB⊥平面ACC1A1得到ED⊥平面ACC1A1.)
(Ⅲ)C1D,CB共面,則C1D,CB必相交,設(shè)交點(diǎn)為F,連結(jié)AF.則平面ADC1與平面ABC所成二面角是C-AF-C1
∠C1AC是所求二面角的平面角.在△C1AC中求解.
解答:解:(Ⅰ)∵正三棱柱中AC∥A1C1,
∴∠CAD是異面直線AD與A1C1所成的角.…(2分)
連結(jié)CD,易知AD=CD=
2
a,AC=a,
在△ACD中易求出cos∠CAD=
2
4

因此異面直線AD與A1C1所成的角的余弦值為
2
4
.…(4分)

(Ⅱ)證明:

∵D是B1B的中點(diǎn),
∴△C1B1D≌△ABD.
∴AD=C1D.
于是△ADC1是等腰三角形.
∵E是AC1的中點(diǎn),
∴DE⊥AC1.…(6分)
設(shè)AC的中點(diǎn)為G,
∴EG∥C1C∥DB,EG=
1
2
C1C=DB.
∴四邊形EGBD是平行四邊形.
∴ED∥GB.
∵G是AC的中點(diǎn),且AB=BC,
∴GB⊥AC.
∴ED⊥AC.
∵AC∩AC1=A,
∴ED⊥平面ACC1A1.…(8分)
(或證ED∥GB,GB⊥平面ACC1A1得到ED⊥平面ACC1A1.)

(Ⅲ)解:∵C1D,CB共面,
故C1D,CB必相交,設(shè)交點(diǎn)為F,連結(jié)AF.
∴平面ADC1與平面ABC所成二面角是C-AF-C1.…(10分)
∵DB=
1
2
C1C,DB∥C1C,
∴B是CF的中點(diǎn).
∴AC=CB=BF=a.
在△ACF中,由余弦定理可求出AF=
3
a.
∴易判斷出△ACF是直角三角形,即AC⊥AF.
∵C1C⊥面ACF,
∴AC1⊥AF.
∴∠C1AC是所求二面角的平面角.…(12分)
∵tan∠C1AC=
C1C
AC
=2,
∴平面ADC1與平面ABC所成二面角的大小是arctan2(或arccos
5
5
).…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷,空間角大小求解,考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力.
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14
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b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b17-n,(n<17,n∈N*)
成立.

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