Question

（14分）已知，且（1－2x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋……＋anxn．

（Ⅰ）求n的值；

（Ⅱ）求a1＋a2＋a3＋……＋an的值．

(Ⅲ) 求的值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）n＝15．（Ⅱ）a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－2．

（Ⅲ）

【解析】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要注意排列、組合數(shù)的定義、性質(zhì)，其次注意靈活運(yùn)用賦值法

（Ⅰ）根據(jù)題意，將A ⁵_n=56C ⁷_n

按排列、組合公式展開(kāi)化簡(jiǎn)可得（n-5）（n-6）=90，解可得：n=15或n=-4，又由排列、組合數(shù)的定義，可得n的范圍，即可得答案；

（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1-2x）¹⁵=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a15=-1，令令x=0得a0=1，兩式相減可得答案．

解：（Ⅰ）由得：

n（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）＝56 ·

即（n－5）（n－6）＝90

解之得：n＝15或n＝－4（舍去）．

∴ n＝15． 

（Ⅱ）當(dāng)n＝15時(shí)，由已知有：

（1－2x）15＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋……＋a15x15，

令x＝1得：a0＋a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－1，

令x＝0得：a0＝1，

∴a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－2．

（Ⅲ）